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高考数学一轮复*第七章立体几何第44讲立体几何中的向量方法一证明*行与垂直课件

发布时间:

第七章

立体几何

第44讲 立体几何中的向量方法(一)——证明*行与垂直

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.理解直线的方向向量与*面法向量的 意义. 2.能用向量语言表达直线与直线、直 线与*面、*面与*面的垂直和*行关 系. 3.能用向量方法证明有关直线和*面 位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

2016·山东卷,17 2016·浙江卷,17 2016·天津卷,17
分值:5~6分

空间直角坐标系、空间 向量及其运算在高考中 主要作为解题工具,解 决直线、*面的*行、 垂直位置关系的判定等 问题.

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板块一 板块二 板块三

1.直线的方向向量与*面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一____非__零_____向量作为它的方向向量. (2)*面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是*面 α 内两不共线向量,n 为* 面 α 的法向量,则求法向量的方程组为?????nn··ab= =00, .

2.用向量证明空间中的*行关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? __v__1∥__v_2_____.
(2)设直线 l 的方向向量为 v,与*面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α?__存__在__两__个__实__数__x_,__y_,__使__v_= ___xv__1+__y_v_2__.
(3)设直线 l 的方向向量为 v,*面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α?____v_⊥__u_____. (4)设*面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β?___u_1_∥__u_2____.

3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2, 则 l1⊥l2?___v_1_⊥__v_2____?___v_1_·v_2_=__0___. (2)设直线 l 的方向向量为 v,*面 α 的法向量为 u,则 l⊥α?____v_∥__u_____. (3) 设 * 面 α 和 β 的 法 向 量 分 别 为 u1 和 u2 , 则 α ⊥ β ? ___u_1_⊥__u_2____ ? ___u_1·_u_2_=__0___.

? 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). ? (1)直线的方向向量是唯一确定的.×( ) ? (2)若两直线的方向向量不*行,则两直线不*行√.( ) ? (3)若两*面的法向量*行,则两*面*行或重合√.( ) ? (4)若空间向量a*行于*面α,则a所在直线与*面α*行×.( )

2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是*面 ABC 法向量的是( C )

A.(-1,1,1)

B.(1,-1,1)

C.????-

33,-

33,-

3?? 3 ??

D.????

33,

33,-

3?? 3 ??

解析 A→B=(-1,1,0),A→C=(-1,0,1),经计算得 C 符合题意.

? 3.已知直线l的方向向量v=(1,2,3),*面α的法向量为u=(5,2,-3), 则l与α的位置l∥关a或系l?是α ____________.
? 解析 ∵v=(1,2,3),u=(5,2,-3),1×5+2×2+3×(-3)=0, ? ∴v⊥u,∴l∥a或l?α. ? 4.设u,v分别是*面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)
时,α与β的位置关系为____________;当v=(4,-4,-10)时,α与β 的位置关系为____α _⊥_β______.
? 解α 析∥β 当v=(3,-2,2)时,u⊥v,则α⊥β,当v=(4,-4,-10)时, u∥v,则α∥β.

? 5中是.心__如,_图_M_所_是_示_D_,_1D_在_的. 正中方点体,ANB是CAD1-B1A的1B中1C点1D,1中则,直O线是O底N,面A异正M面方垂的直形位A置B关CD系的
解析 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立直角坐标系,设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0),M(0,0,1), O(1,1,0),N(2,1,2),则O→N=(1,0,2),∴O→N·A→M=0,∴O→N⊥A→M, ∴ON⊥AM.

一 利用空间向量证明*行问题
? (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运 用向量法证明*行和垂直的关键.
? (2)证明直线与*面*行,只需证明直线的方向向量与*面的法向量的 数量积为零,或证直线的方向向量与*面内的不共线的两个向量共 面,或证直线的方向向量与*面内某直线的方向向量*行,然后说明 直线在*面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

? 【例1】 如图所示,*面PAD⊥*面ABCD,ABCD为 正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F, G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥*面
EFG.
? 证明 ∵*面PAD⊥*面ABCD,且ABCD为正方形, ∴AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如 图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1), G(1,2,0).

∴P→B=(2,0,-2),F→E=(0,-1,0),F→G=(1,1,-1),

设P→B=sF→E+tF→G,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

??t=2, ∴?t-s=0,
??-t=-2,

解得 s=t=2.∴P→B=2F→E+2F→G,

又∵F→E与F→G不共线,∴P→B,F→E与F→G共面. ∵PB?*面 EFG,∴PB∥*面 EFG.

二 利用空间向量证明垂直问题
? 证明垂直问题的方法
? (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的 坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关 键.
? (2)证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;证明 线面垂直,只需证明直线的方向向量与*面内不共线的两个向量垂直 即可,当然,也可证直线的方向向量与*面的法向量*行;证明面面 垂直:①证明两*面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定 理,只要能证明一个*面内的一条直线的方向向量为另一个*面的法 向量即可.

? 【例2】 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直
三中棱点柱.求)AB证C:-AAB1B1⊥1C*1的面所A有1B棱D.长都为2,D为CC1的
证明 如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.
因为△ABC 为正三角形,所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,*面 ABC⊥*面 BCC1B1, 所以 AO⊥*面 BCC1B1. 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,分别以O→B,O→O1,O→A所在直线为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,0, 3),A1(0,2, 3),B1(1,2,0). 设*面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),B→A1=(-1,2, 3),B→D=(-2,1,0). 因为 n⊥B→A1,n⊥B→D,故?????nn··BB→→AD1==00,, ??????- -x2+x+2yy+ =0,3z=0, 令 x=1,则 y=2,z=- 3,故 n=(1,2,- 3)为*面 A1BD 的一个法向量,而 A→B1=(1,2,- 3),所以A→B1=n,所以A→B1∥n,
故 AB1⊥*面 A1BD.

? 【例3】 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥ *面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD =2.
? (1)证明AP⊥BC;
? (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明*面AMC⊥*面BMC.

证明 (1)如图所示,以 O 为坐标原点,以过 O *行于 BD 的直线为 x 轴,以 AD, OP 分别为 y,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.
则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). 于是A→P=(0,3,4),B→C=(-8,0,0),
∴A→P·B→C=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,∴A→P⊥B→C,即 AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|=5, 又|AM|=3,且点 M 在线段 AP 上,

∴A→M=35A→P=????0,95,152????, 又B→C=(-8,0,0),A→C=(-4,5,0), B→A=(-4,-5,0),∴B→M=B→A+A→M=????-4,-156,152????, 则A→P·B→M=(0,3,4)·????-4,-156,152????=0, ∴A→P⊥B→M,即 AP⊥BM,又根据(1)的结论知 AP⊥BC,且 BM∩BC=C,∴AP
⊥*面 BMC,于是 AM⊥*面 BMC.又 AM?*面 AMC,∴*面 AMC⊥*面 BMC.

三 利用空间向量解决探索性问题
? 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是先根据条件作出 判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先假设存在点的坐标, 再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出, 或有矛盾,则判定“不存在”.

? 【∠A例1A4】C均为如60图°,,棱*柱面AABAC1DC-1CA⊥1B*1C面1DA1B的C所D.有棱长都等于2,∠ABC和
? (1)求证:BD⊥AA1; ? (位2)置在,直若线不CC存1上在是,否请存说在明点理P由,.使BP∥*面DA1C1.若存在,求出点P的

解析 (1)证明:设 BD 与 AC 交于点 O,则 BD⊥AC,连接 A1O,在△AA1O 中, AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
由余弦定理,得 A1O2=AA21+AO2-2AA1·AOcos 60°=3, ∴AO2+A1O2=AA21,∴A1O⊥AO.
由于*面 AA1C1C⊥*面 ABCD,∴A1O⊥*面 ABCD.
以 OB,OC,OA1 所在直线分別为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,则 A(0,-1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),D(- 3,0,0),A1(0,0, 3),C1(0,2,
3).

由于B→D=(-2 3,0,0),A→A1=(0,1, 3),A→A1·B→D=0×(-2 3)+1×0+ 3×0 =0,∴B→D⊥A→A1,即 BD⊥AA1.
(2)假设在直线 CC1 上存在点 P,使 BP∥*面 DA1C1, 设C→P=λC→C1,P(x,y,z),则(x,y-1,z)=λ(0,1, 3). 从而有 P(0,1+λ, 3λ),B→P=(- 3,1+λ, 3λ). 设 n3=(x3,y3,z3)为*面 DA1C1 的一个法向量,

则?????nn33⊥ ⊥DA→→1AC11,,

又A→1C1=(0,2,0),D→A1=( 3,0, 3),

则?????2y33x=3+0,3z3=0, 取 n3=(1,0,-1), ∵BP∥*面 DA1C1,则 n3⊥B→P,即 n3·B→P=- 3- 3λ=0, 得 λ=-1, 即点 P 在 C1C 的延长线上,且 C1C=CP.

1.如图,在四面体 A-BCD 中,AD⊥*面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,
M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC.证明:PQ∥ *面 BCD.

证明 如图,取 BD 的中点 O,以 O 为原点,OD,OP 所在射线分别为 y,z 轴的 正半轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0). 设点 C 的坐标为(x0,y0,0). 因为A→Q=3Q→C,所以 Q????34x0, 42+34y0,12????.

因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2,1). 又 P 为 BM 的中点,故 P????0,0,12????, 所以P→Q=????34x0, 42+34y0,0????. 又*面 BCD 的一个法向量为 a=(0,0,1),故P→Q·a=0.
又 PQ?*面 BCD,所以 PQ∥*面 BCD.

? 2形点.,,如求∠图证B所A:C示=,90已°知,直且三AB棱=柱AAAB1,C-DA,1BE1,C1F中分,别△为ABB1CA为,等C1腰C,直B角C的三中角 ? (1)DE∥*面ABC; ? (2)B1F⊥*面AEF.

证明 导学号 74780343 (1)如图建立空间直角坐标系 Axyz,令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4) .
取 AB 中点为 N,连接 CN, 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), ∴D→E=(-2,4,0),N→C=(-2,4,0), ∴D→E=N→C,∴DE∥NC,
又∵NC?*面 ABC,DE?*面 ABC. 故 DE∥*面 ABC.

(2)B→1F=(-2,2,-4),E→F=(2,-2,-2),A→F=(2,2,0). B→1F·E→F=(-2)×2+2×(-2)+(-4) ×(-2)=0, B→1F·A→F=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴B→1F⊥E→F,B→1F⊥A→F,即 B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又∵AF∩EF=F,∴B1F⊥*面 AEF.

? 3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥*面ABCD,PC=2,在四 边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB =4PM,PB与*面ABCD成30°角.
? (1)求证:CM∥*面PAD;
? (2)求证:*面PAB⊥*面PAD.

证明 (1)以 C 为坐标原点,分别以 CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴, CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,
∵PC⊥*面 ABCD,∴∠PBC 为 PB 与*面 ABCD 所成的角,∴∠PBC=30°. ∵|PC|=2,∴|BC|=2 3,|PB|=4. ∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),M???? 23,0,32????, ∴D→P=(0,-1,2),D→A=(2 3,3,0),C→M=???? 23,0,23????,

令 n=(x,y,z)为*面 PAD 的一个法向量.

则?????DD→ →PA··nn= =00, ,

即?????2-y3+x+2z3=y=0,0,

??z=12y, ∴?
??x=- 23y,

令 y=2,得 n=(- 3,2,1).

∵n·C→M=- 3× 23+2×0+1×32=0,

∴n⊥C→M,又 CM?*面 PAD,∴CM∥*面 PAD.

(2)取 AP 的中点 E,则 E( 3,2,1),B→E=(- 3,2,1).
∵|PB|=|AB|,∴BE⊥PA.
又∵B→E·D→A=(- 3,2,1)·(2 3,3,0)=0, ∴B→E⊥D→A,∴BE⊥DA, 又 PA∩DA=A,∴BE⊥*面 PAD, 又∵BE?*面 PAB,
∴*面 PAB⊥*面 PAD.

? 4.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD =DC,E,F分别是AB,PB的中点.
? (1)求证:EF⊥CD;
? (2)在*面PAD内求一点G,使GF⊥*面PCB,并证明你的结论.

解析 (1)证明:如图,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E????a,a2,0????, P(0,0,a),F????a2,a2,a2????.
E→F=????-a2,0,a2????,D→C=(0,a,0).
∵E→F·D→C=0,∴E→F⊥D→C,即 EF⊥CD.

(2)设 G(x,0,z),则F→G=????x-2a,-a2,z-a2????, 若使 GF⊥*面 PCB,则 由F→G·C→B=????x-a2,-2a,z-a2????·(a,0,0)=a????x-2a????=0,得 x=2a; 由F→G·C→P=????x-a2,-2a,z-a2????·(0,-a,a) =a22+a????z-2a????=0,得 z=0, ∴G 点坐标为????a2,0,0????,即 G 点为 AD 的中点.

易错点 坐标系建立不恰当、点的坐标出错
? 错因分析:①写准点的坐标是关键,要利用中点、向量共线、相等来 确定点的坐标.②利用a=λb证明直线*行需强调两直线不重合,证明 直线与*面*行仍需强调直线在*面外.

? 【分移别动例是,1】棱 且如ADBP图,=,ABD在Q,=棱Aλ长(10B为<1,λ2<的A2)1.D正1方的体中A点B,CD点-PA,1BQ1分C1别D1在中棱,DED,1,F,BBM1,上N
? (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥*面EFPQ; ? (2)是否存在λ,使*面EFPQ与*面PQMN所成的二面角为直二面角?
若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

解析 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立如图 所示的空间直角坐标系 Dxyz.
由已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0), P(0,0,λ),M(2,1,2),N(1,0,2),B→C1=(-2,0,2), F→P=(-1,0,λ),F→E=(1,1,0),M→N=(-1,-1,0), N→P=(-1,0,λ-2).

(1)证明:当 λ=1 时,F→P=(-1,0,1), 因为B→C1=(-2,0,2),所以B→C1=2F→P,即 BC1∥FP. 而 FP?*面 EFPQ,且 BC1?*面 EFPQ, 故直线 BC1∥*面 EFPQ. (2)设*面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

??F→E·n=0, ???F→P·n=0,

可得?????x-+xy+=λ0z=,0. 于是可取 n=(λ,-λ,1).

同理可得*面 PQMN 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1).

若存在 λ,使*面 EFPQ 与*面 PQMN 所成二面角为直二面角,则 m·n=(λ-2,2

-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即

λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得

λ=1±

2 2.

故存在 λ=1±22,使*面 EFPQ 与*面 PQMN 所成的二面角为直二面角.

【跟踪训练 1】 (2018·河北衡水中学检测)如图所示,四棱锥 S-ABCD 的底面是 正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点.
(1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥*面 PAC,则侧棱 SC 上的是否存在一点 E,使得 BE∥*面 PAC.若
存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,请说明理由.

解析 连接 BD,设 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD. 由题意知 SO⊥*面 ABCD.
以 O 为坐标原点,O→B,O→C,O→S分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 坐标系如图.

设底面边长为

a,则高|SO|=

6 2 a.

于是 S????0,0, 26a????,D????- 22a,0,0????, B???? 22a,0,0????,C????0, 22a,0????.

(1)证明:O→C=????0, 22a,0????,S→D=????- 22a,0,- 26a????,
则O→C·S→D=0.故 OC⊥SD,从而 AC⊥SD. (2)棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥*面 PAC.
理由如下:由已知条件知D→S是*面 PAC 的一个法向量, 且D→S=???? 22a,0, 26a????,C→S=????0,- 22a, 26a????, B→C=????- 22a, 22a,0????.

设C→E=tC→S, 则B→E=B→C+C→E=B→C+tC→S=????- 22a, 22a?1-t?, 26at????, 而B→E·D→S=0, 所以????- 22a, 22a?1-t?, 26at????·???? 22a,0, 26a????=0, 解得 t=13,即当 SE∶EC=2∶1 时,B→E⊥D→S.
又 BE?*面 PAC,故 BE∥*面 PAC.

编后语
? 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学*的同学往往懂得抓好课后的“*鹆椒种印薄D敲矗魏蟮摹盎*鹗奔洹笨梢杂美醋鍪裁茨兀
? 一、释疑难
? 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。
? 二、补笔记
? 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记,既可以起到复*的作用,又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全,错别字要纠正,过于潦草的字要写清楚。同时,将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想,用自己的话写在笔记本的空白处。这样,可以使笔记变的更加完整、充实。
? 三、课后“静思2分钟”大有学问
? 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间,在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍,把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍,这样,不仅可以加深知识的理解和记忆,还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以,2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复*30分钟。

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