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浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学12月月考试题

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杭西高 2017 年 12 月考高二数学试卷

本试卷由卷 I 和卷 II 两部分组成,卷 I 为《必修 2》的模块考,满分 100 分,卷 II 为《选

修 2—1》内容,满分 50 分,总分 150 分。

卷 I(共 100 分)

一. 选择题 :本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选择项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( )

A.2x+y-1=0

B.2x+y-5=0

C.x+2y-5=0

D.x-2y+7=0

2. 已知直线 l 的方程为 x ? 3y ? 4 ? 0 ,则直线 l 的倾斜角为( )

A. 300

B. 600

C.1200

D.1500

3.在直角坐标系中,已知 A(-1,2),B(3,0),那么线段 AB 中点的坐标为( ).

A.(2,2)

B(1,1)

C.(-2,-2)

D.(-1,-1)

4.若一圆的标准方程为 (x ?1)2 ? ( y ? 5)2 ? 3 ,则此圆的的圆心和半径分别为 ( )

A、 (?1,5) , 3

B、 (1,?5) , 3

C、 (?1,5) , 3

D、 (1,?5) , 3

5.已知直线 3x?2y?3?0和 6x?m?1 y?0互相*行,则 m 的值为( )

A. 2

B. 3

C. 6

D. 4

6.以两点 A(?3,?1) 和 B(5,5) 为直径端点的圆的方程是( )

A、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

B、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

C、 (x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

D、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

7.已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得

这个几何体的体积是( )

1 A.2

cm3

1 B.3

cm3

1 C.6

cm3

1 D.12

cm3

8.长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,若它的八个顶点都在同

一个球面上,则这个球的表面积是( )

A.20 2π C.50π

B.25 2π D.200π

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9.已知 m,n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同*面,下列命题中正确的是( )

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β

C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β

D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n

10.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 5的

圆的方程为( )

A.x2+y2-2x+4y=0

B.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0

D.x2+y2-2x-4y=0

二.填空题:(本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分)。

11 .经过原点,圆心在 x 轴的正半轴上,半径等于 5 的圆的方程是
12.给出下列四个命题: ①如果两个*面有三个公共点,那么这两个*面重合;②两条直线可以确定一个*面; ③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l;④空间中,相交于同一点的三条直线在同一
*面内.其中真命题的个数为________. 13.若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体 体积是_________.

14.已知一个圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120°,圆锥底面圆的半径为 1,则该圆锥 的体积为________. 15. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与*面 BB1D1D 所成的角的正弦值为 三、解答题 16..若 P(2,-1)为圆 C:(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点。(1)求圆心 C 的坐标;(2)求直线 AB 的方程。

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17.已知六棱锥 P-ABCDEF,其中底面 ABCDEF 为正六边形,点 P 在底面上的投影为正六边形 中心 O,底面边长为 2,侧棱长为 3. (1)求底面正六边形 ABCDEF 的面积;(2)求六棱锥 P -ABCDEF 的体积.

试卷 Ⅱ(共 50 分)

四.选择题(每题 5 分,共 10 分)

x2

y2

18.已知方程3+k+2-k=1

表示椭圆,则

k

的取值范围为(

)

A.k>-3 且 k≠-12

B.-3<k<2 且 k≠-12

C.k>2

D.k<-3

19.已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为35.过 F1 的直线交椭圆于

A、B 两点,则△ABF2 的周长为( )

A.10

B.12

C.16

D.20

五、填空题(每题 5 分,共 10 分) 20.已知中心在原点,长轴在 x 轴上,一焦点与短轴两端点连线互相垂直,焦点与长轴上较* 顶点的距离为 4( 2-1),则此椭圆方程是

21.设

e

x2 y2 是椭圆 4 + k =1

的离心率,且

e∈(12,1),则实数

k

的取值范围是

六.解答题(共 30 分,每题 15 分) 22.已知椭圆 C 的方程为:x22+y2=1。(1)求椭圆的长轴长 2a,短轴长 2b;(2)求椭圆的焦 点 F1、F2 的坐标、离心率 e

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23.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨 迹为曲线 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若O→A⊥O→B,求 k 的值.

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杭西高 2017 年 12 月考高二数学试卷

本试卷由卷 I 和卷 II 两部分组成,卷 I 为《必修 2》的模块考,满分 100 分,卷 II 为《选

修 2—1》内容,满分 50 分,总分 150 分。

卷I

二. 选择题 :本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选择项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A )

A.2x+y-1=0

B.2x+y-5=0

C.x+2y-5=0

D.x-2y+7=0

2. 已知直线 l 的方程为 x ? 3y ? 4 ? 0 ,则直线 l 的倾斜角为( D )

A. 300

B. 600

C.1200

D.1500

3.在直角坐标系中,已知 A(-1,2),B(3,0),那么线段 AB 中点的坐标为( B ).

A.(2,2)

B(1,1)

C.(-2,-2)

D.(-1,-1)

4.若一圆的标准方程为 (x ?1)2 ? ( y ? 5)2 ? 3 ,则此圆的的圆心和半径分别为 ( B )

A、 (?1,5) , 3

B、 (1,?5) , 3

C、 (?1,5) , 3

D、 (1,?5) , 3

5.已知直线 3x?2y?3?0和 6x?m?1 y?0互相*行,则 m 的值为( D )

A. 2

B. 3

C. 6

D. 4

6.以两点 A(?3,?1) 和 B(5,5) 为直径端点的圆的方程是( D )

A、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

B、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

C、 (x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

D、 (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

7.已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得

这个几何体的体积是( C )

1 A.2 cm3

1 B.3 cm3

1 C.6 cm3

1 D.12 cm3

8.长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,若它的八个顶点都在同

一个球面上,则这个球的表面积是( C )

A.20 2π C.50π

B.25 2π D.200π

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9.已知 m,n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同*面,下列命题中正确的是(D)

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β

C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β

D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n

10.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 5的

圆的方程为( C )

A.x2+y2-2x+4y=0

B.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0

D.x2+y2-2x-4y=0

二.填空题:(本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分)。

11 .经过原点,圆心在 x 轴的正半轴上,半径等于 5 的圆的方程是 (x ? 5)2 ? y 2 ? 25

12.给出下列四个命题:

①如果两个*面有三个公共点,那么这两个*面重合;②两条直线可以确定一个*面;

③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l;④空间中,相交于同一点的三条直线在同一

*面内.其中真命题的个数为________.

解析:根据*面的基本性质知③正确.答案:1

13.若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体

体积是_________.

解析:如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.

1

1

V=3S·h=3π R2·h

1





=3π ×22×2= 3 .答案: 3

14.已知一个圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120°,圆锥底面圆的半径为 1,则该圆锥
的体积为________.
2 2π 答案 3
1 解析 因为扇形弧长为 2π ,所以圆锥母线长为 3,高为 2 2,所求体积 V=3×π ×12×2 2
2 2π =3.

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15. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与* 面 BB1D1D 所成的角的正弦值为
10 答案: 5 三、解答题:(满分 30 分,每题 15 分) 16..若 P(2,-1)为圆 C:(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点。(1)求圆心 C 的坐标;(2)求 直线 AB 的方程。 解:(1)C(1,0) (2)直线 AB 的方程为 x-y-3=0
17.已知六棱锥 P-ABCDEF,其中底面 ABCDEF 为正六边形,点 P 在底面上的投影为正六边形 中心 O,底面边长为 2,侧棱长为 3,(1)求正六边形 ABCDEF 的面积;(2)求六棱锥 P-ABCDEF 的体积.
分析 由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥,要求其体积,求出高即可. 解析

解:(1)如图,O 为正六边形中心,则 PO 为六棱锥的高,G 为 CD 中点,则 PG 为六棱锥的斜

高,由已知得:CD=2,则 OG= 3,CG=1,

3 S = ABCDEF 6× 4 ×22=6 3

(2)在 Rt△PCG 中,PC=3,CG=1,则

PG= PC2-CG2=2 2.

在 Rt△POG 中,PG=2 2,OG= 3,则

PO= PG2-OG2= 5.

1

1

3

VP-ABCDEF=3SABCDEF·PO=3×6× 4 ×22× 5=2 15.

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试卷 Ⅱ

四.选择题(每题 5 分,共 10 分)

x2

y2

18.已知方程3+k+2-k=1 表示椭圆,则 k 的取值范围为( )

1 A.k>-3 且 k≠-2

1 B.-3<k<2 且 k≠-2

C.k>2

D.k<-3

答案 B

?? 3+k

解析 只需满足:?2-k

.

??3+k≠2-k

x2 y2

3

19.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为5.过 F1 的直线交椭圆于

A、B 两点,则△ABF2 的周长为( )

A.10

B.12

C.16

D.20

答案 D

五、填空题(每题 5 分,共 10 分) 20.已知中心在原点,长轴在 x 轴上,一焦点与短轴两端点连线互相垂直,焦点与长轴上较
*顶点的距离为 4( 2-1),则此椭圆方程是________. x2 y2
答案 32+16=1

?a-c= 2- , ? 解析 由题意,得 b=c,
?a2=b2+c2,

?a=4 2, 解得??b=4,

x2 y2 所以椭圆方程为32+16=1.

x2 y2

1

21.设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率,且 e∈(2,1),则实数 k 的取值范围是

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16 答案 (0,3)∪( 3 ,+∞)

1 k-4

16

解析 当 k >4 时,c= k-4,由条件知4< k <1,解得 k> 3 ;

当 0<k<4 时,c= 4-k,
1 4-k 由条件知4< 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C.

六.解答题(共 30 分,每题 15 分)
x2 22.已知椭圆 C 的方程为: 2 +y2=1。(1)求椭圆的长轴长 2a,短轴长 2b;(2)求椭圆的焦 点 F1、F2 的坐标、离心率 e 答案 解析 (1)a2=2,a= 2,b2=1,所以 a= 2,b=1,所以椭圆的长轴长 2a=2 2,2b=2.
c2 (2)c=1,所以椭圆的焦点坐标 F1(—1,0)、F2(1,0)、离心率 e=a= 2

23.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨 迹为曲线 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若O→A⊥O→B,求 k 的值.

解析 (Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦

点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b= 22- ( 3 2)=1. y2
故曲线 C 的方程为 x2+ 4 =1.
(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
???x2+y42=1, ??y=kx+1.

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0.

2k

3

故 x1+x2=-k2+4,x1x2=-k2+4.

若O→A⊥O→B,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1.

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3

3k2 2k2

于是 x1x2+y1y2=-k2+4-k2+4-k2+4+1=0.

1 化简得-4k2+1=0.所以 k=±2




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