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高考数学大一轮复*第七章立体几何第44讲用向量方法证明*行与垂直课件理新人教A版

发布时间:

第七章
立体几何
高考总复* ·数学(理科)

第44讲
用向量方法证明*行与垂 直
高考总复* ·数学(理科)

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.理解直线的方向向量与 *面法向量的意义. 2.能用向量语言表达直线 与直线、直线与*面、* 面与*面的垂直和*行关 系. 3.能用向量方法证明有关 直线和*面位置关系的一 些定理(包括三垂线定理).

2018·全国卷Ⅰ, 18 2018·浙江卷,19 2018·天津卷,17
分值:5~6分

空间直角坐 标系、空间向量 及其运算在高考 中主要作为解题 工具,解决直 线、*面的*
行、垂直位置关 系的判定等问题.

核心素 养
本 讲内容 能突出 对逻辑 推理, 数学建 模,数 学运算 的考查.

目录

板块一 板块二 板块三

︿ ︿

板块一

[知识梳理] 1.直线的方向向量与*面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一 非零 向量作为它的 方向向量. (2)*面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是*面 α 内 两不共线向量,n 为*面 α 的法向量,则求法向量的方程组为
??n·a=0, ???n·b=0.

2.用向量证明空间中的*行关系



l2

(重1)合设)直?线vl11∥和vl22

的方向向量分别为 .

v1



v2,则

l1∥l2(或

l1

(2)设直线 l 的方向向量为 v,与*面 α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.

(3)设直线 l 的方向向量为 v,*面 α 的法向量为 u,则 l∥α

或 l?α? v⊥u . (4)设*面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β ? u1∥u2.

3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,
则 l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1·v2 =0 .
(2)设直线 l 的方向向量为 v,*面 α 的法向量为 u,
则 l⊥α? v∥u .
(3)设*面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β ? u1⊥u2
? u1·u2=0 .

[对点检测] 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若两直线的方向向量不*行,则两直线不*行.( ) (3)若两*面的法向量*行,则两*面*行或重合.( ) (4)若空间向量 a *行于*面 α,则 a 所在直线与*面 α * 行.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是*面

ABC 法向量的是( )

A.(-1,1,1)

B.(1,-1,1)

C.????-

33,-

33,-

3?? 3 ??

D.????

33,

33,-

3?? 3 ??

答案 C 解析 A→B=(-1,1,0),A→C=(-1,0,1),经计算得 C 项

符合题意.

3.已知直线 l 的方向向量 v=(1,2,3),*面 α 的法向量为 u=(5,2,-3),则 l 与 α 的位置关系是__________.
解析 因为 v=(1,2,3),u=(5,2,-3), 1×5+2×2+3×(-3)=0, 所以 v⊥u,所以 l∥α 或 l?α.
答案 l∥a 或 l?α

4.设 u,v 分别是*面 α,β 的法向量,u=(-2,2,5),当 v=(3,-2,2)时,α 与 β 的位置关系为__________;当 v=(4, -4,-10)时,α 与 β 的位置关系为__________.
解析 当 v=(3,-2,2)时,u⊥v,则 α⊥β, 当 v=(4,-4,-10)时,u∥v,则 α∥β.
答案 α⊥β α∥β

5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点, 则直线 ON,AM 的位置关系是__________.
解析 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立直角坐标系,设正方体棱长为 2,则 A(2,0,0),M(0,0,1),
O(1,1,0),N(2,1,2),则 A→M=(-2,0,1),O→N=(1,0,2),所以O→N·A→M
=0,所以O→N⊥A→M,所以 ON⊥AM.
答案 异面垂直

︿ ︿

板块二

[考法精讲] 考法一 利用空间向量证明*行问题 解题技巧 (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的 坐标,是运用向量法证明*行和垂直的关键. (2)证明直线与*面*行,只需证明直线的方向向量与*面 的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与*面内的不共 线的两个向量共面,或证直线的方向向量与*面内某直线的方 向向量*行,然后说明直线在*面外即可.这样就把几何的证 明问题转化为向量运算.

【例 1】如图所示,*面 PAD⊥*面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E,F,G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点.求证:PB∥*面 EFG.

证明 因为*面 PAD⊥*面 ABCD,且四边形 ABCD 为正 方形,所以 AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

所以P→B=(2,0,-2),F→E=(0,-1,0),F→G=(1,1,-1), 设P→B=sF→E+tF→G,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

??t=2, 所以??t-s=0,
???-t=-2,

解得 s=t=2.所以P→B=2F→E+2F→G,

又因为F→E与F→G不共线,所以P→B,F→E与F→G共面. 因为 PB?*面 EFG,所以 PB∥*面 EFG.

考法二 利用空间向量证明垂直问题
解题技巧 证明垂直问题的方法
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写 出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活 建系是解题的关键.

(2)证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量 垂直;证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与*面内不共 线的两个向量垂直即可,当然,也可证直线的方向向量与*面 的法向量*行;证明面面垂直:①证明两*面的法向量互相垂 直;②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个*面内的一 条直线的方向向量为另一个*面的法向量即可.

【例 2】 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱 柱)ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点.求证: AB1⊥*面 A1BD.

证明 如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为△ABC 为正三角形,
所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, *面 ABC⊥*面 BCC1B1, 所以 AO⊥*面 BCC1B1.

取 B1C1 的中点 O1,连 OO1,以 O 为原点,分别以O→B,O→O1, O→A所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,0, 3),A1(0,2, 3),B1(1,2,0). 设*面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),B→A1=(-1,2, 3), B→D=(-2,1,0).因为 n⊥B→A1,n⊥B→D,
故???????nn··BB→→DA1==00,, ??????--x2+x+2yy+=0,3z=0,

令 x=1,则 y=2,z=- 3,故 n=(1,2,- 3)为*面 A1BD 的一个法向量,而A→B1=(1,2,- 3),所以A→B1=n,所以A→B1∥ n,
故 AB1⊥*面 A1BD.

【例 3】(2019·四川绵阳中学模拟)在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,PD⊥*面 ABCD,E,F 分别为棱 AD, PB 的中点,且 PD=AD.求证:*面 CEF⊥*面 PBC.

证明 建立如图所示空间直角坐标系,令 PD=1,则 A(1,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E????21,0,0????,F????12,12,12????, 设*面 CEF 的一个法向量为 n1=(x,y,z),

则???????nn11··EE→→CF==00,,

得????12y+21z=0, ???-12x+y=0,

取 x=1,则 n1=????1,12,-21????. 同理求得*面 PBC 的一个法向量为 n2=????0,21,12????. 因为 n1·n2=1×0+12×12-12×12=0,
所以 n1⊥n2.所以*面 CEF⊥*面 PBC.

考法三 利用空间向量解决探索性问题 归纳总结 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是先根 据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先 假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在 点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.

【例 4】 如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2,∠ABC 和∠A1AC 均为 60°,*面 AA1C1C⊥*面 ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1; (2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥*面 DA1C1.若存 在,求出点 P 的位置,若不存在,请说明理由.

解析 (1)证明:设 BD 与 AC 交于点 O,
则 BD⊥AC,连接 A1O,在△AA1O 中,AA1=2,AO=1, ∠A1AO=60°,
由余弦定理得 A1O2=AA21+AO2-2AA1·AOcos 60°=3, 所以 AO2+A1O2=AA21, 所以 A1O⊥AO.

由于*面 AA1C1C⊥*面 ABCD,所以 A1O⊥*面 ABCD. 以 OB,OC,OA1 所在直线分別为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),B( 3,0,0), C(0,1,0),D(- 3,0,0),A1(0,0, 3),C1(0,2, 3). 则B→D=(-2 3,0,0),A→A1=(0,1, 3), A→A1·B→D=0×(-2 3)+1×0+ 3×0=0, 所以B→D⊥A→A1,即 BD⊥AA1.

(2)假设在直线 CC1 上存在点 P,使 BP∥*面 DA1C1, 设C→P=λC→C1,P(x,y,z),则(x,y-1,z)=λ(0,1, 3). 从而有 P(0,1+λ, 3λ),B→P=(- 3,1+λ, 3λ). 设 n3=(x3,y3,z3)为*面 DA1C1 的一个法向量,
则???????nn33⊥⊥AD→→1AC11,, 又A→1C1=(0,2,0),D→A1=( 3,0, 3),

则?????2y33x=3+0,3z3=0, 取 n3=(1,0,-1),
因为 BP∥*面 DA1C1,则 n3⊥B→P, 即 n3·B→P=- 3- 3λ=0,得 λ=-1, 即点 P 在 C1C 的延长线上,且 C1C=CP.

[递进题组] 1.[考法一]如图,在四面体 ABCD 中,AD⊥*面 BCD, BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的 中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC.证明:PQ∥*面 BCD.

证明 如图,取 BD 的中点 O,以 O 为原点,OD,OP 所 在射线分别为 y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0). 设点 C 的坐标为(x0,y0,0). 因为A→Q=3Q→C,所以 Q????43x0, 42+34y0,12????.

因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2,1).
又 P 为 BM 的中点,故 P????0,0,21????, 所以P→Q=????43x0, 42+34y0,0????.又*面 BCD 的一个法向量为 a=(0,0,1), 故P→Q·a=0. 又 PQ?*面 BCD,所以 PQ∥*面 BCD.

2.[考法一、二]如图所示,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,D, E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点,求证:
(1)DE∥*面 ABC; (2)B1F⊥*面 AEF.

证明 (1)如图建立空间直角坐标系 Axyz,令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4) .取 AB 中点 为 N,连接 CN,则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),
所以D→E=(-2,4,0),N→C=(-2,4,0), 所以D→E=N→C,所以 DE∥NC, 又因为 NC?*面 ABC,DE?*面 ABC. 故 DE∥*面 ABC.

(2)B→1F=(-2,2,-4),E→F=(2,-2,-2),A→F=(2,2,0). B→1F·E→F=(-2)×2+2×(-2)+(-4) ×(-2)=0, B→1F·A→F=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. 所以B→1F⊥E→F,B→1F⊥A→F,即 B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又因为 AF∩EF=F,所以 B1F⊥*面 AEF.

3.[考法一、二]如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC ⊥*面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°, AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与*面 ABCD 成 30°角.
(1)求证:CM∥*面 PAD; (2)求证:*面 PAB⊥*面 PAD.

证明 (1)以 C 为坐标原点,分别以 CB 所在直线为 x 轴, CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 Cxyz,
因为 PC⊥*面 ABCD,所以∠PBC 为 PB 与*面 ABCD 所成的角,所以∠PBC=30°.因为 PC=2,所以 BC=2 3,PB =4.
所以 D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2), M???? 23,0,32????,

所以D→P=(0,-1,2),D→A=(2 3,3,0),C→M=???? 23,0,32????, 令 n=(x,y,z)为*面 PAD 的一个法向量,

则???????DD→→PA··nn= =00, ,

即?????- 2 y3+x+2z3=y=0,0,

所以????z=12y,

??x=-
?

23y,

令 y=2,得 n=(- 3,2,1). 因为 n·C→M=- 3× 23+2×0+1×32=0, 所以 n⊥C→M,又 CM?*面 PAD,所以 CM∥*面 PAD.

(2)取 AP 的中点 E, 则 E( 3,2,1),B→E=(- 3,2,1). 因为 PB=AB,所以 BE⊥PA. 又因为B→E·D→A=(- 3,2,1)·(2 3,3,0)=0, 所以B→E⊥D→A,所以 BE⊥DA, 又 PA∩DA=A,所以 BE⊥*面 PAD, 又因为 BE?*面 PAB,所以*面 PAB⊥*面 PAD.

4.[考法三](2019·济南调研)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.*面 ABC⊥*面 AA1C1C, AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥*面 ABC; (2)在线段 BC1 上是否存在点 D,使得 AD⊥A1B?若存在, 试求出BBCD1的值.

解析 (1)证明:在正方形 AA1C1C 中,A1A⊥AC.又*面 ABC ⊥*面 AA1C1C,且*面 ABC∩*面 AA1C1C=AC,AA1?*面 AA1C1C.所以 AA1⊥*面 ABC.

(2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB,在△ABC 中,AC=4, AB=3,BC=5,所以 BC2=AC2+AB2,所以 AB⊥AC.所以以 A 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 Axyz.A(0,0,0), A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),于是A→1B=(0,3,-4),B→C1=(4, -3,4).假设存在点 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,使 AD⊥ A1B,且B→D=λB→C1(λ∈[0,1]).

所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4),解得 x=4λ,y=3-3λ, z=4λ,所以A→D=(4λ,3-3λ,4λ),又 AD⊥A1B,所以 0+3(3 -3λ)-16λ=0,解得 λ=295∈[0,1],所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,此时BBCD1=295.

︿ ︿

板块三

关键点 坐标系建立要恰当、点的坐标要写准确
【典例】 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥*面 EFPQ; (2)是否存在 λ,使*面 EFPQ 与*面 PQMN 所成的二面 角为直二面角?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

规范解答:以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x, y,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.

由已知得 B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0), P(0,0,λ),M(2,1,2),N(1,0,2),B→C1=(-2,0,2), F→P=(-1,0,λ),F→E=(1,1,0),M→N=(-1,-1,0), N→P=(-1,0,λ-2).

(1)证明:当 λ=1 时,F→P=(-1,0,1),因为B→C1=(-2,0,2), 所以B→C1=2F→P,即 BC1∥FP. 而 FP?*面 EFPQ,且 BC1?*面 EFPQ, 故直线 BC1∥*面 EFPQ.

(2)设*面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

???F→E·n=0, ????F→P·n=0,

可得?????x-+xy+=λz0=,0. 于是可取 n=(λ,-λ,1).

同理可得*面 PQMN 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1).

若存在 λ,使*面 EFPQ 与*面 PQMN 所成二面角为直二 面角,则 m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,
即 λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得 λ=1±22. 故存在 λ=1± 22,使*面 EFPQ 与*面 PQMN 所成的二 面角为直二面角.

答题模板 1.建立适当的空间直角坐标系,让一些点、线段尽量与 坐标轴重合. 2.写准点的坐标是关键,要利用中点、向量共线、相等 来确定点的坐标. 3.利用 a=λb 证明直线*行需强调两直线不重合,证明 直线与*面*行仍需强调直线在*面外.

【跟踪训练】 (2019·河北衡水中学检测)如图所示,四棱 锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥*面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得
BE∥*面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,请说明 理由.

解析 连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,则 AC⊥BD.由题意 知 SO⊥*面 ABCD.
以 O 为坐标原点,O→B,O→C,O→S分别为 x 轴、y 轴、z 轴 正方向,建立如图空间直角坐标系.

设底面边长为 a,则高|SO|= 26a. 于是 S????0,0, 26a????,D????- 22a,0,0????, B???? 22a,0,0????,C????0, 22a,0????.
(1)证明:O→C=????0, 22a,0????,S→D=????- 22a,0,- 26a????, 则O→C·S→D=0.故 OC⊥SD,从而 AC⊥SD.

(2)棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥*面 PAC.理由如下:



已知条

件知

→ DS

是*



PAC

的 一 个 法 向 量 , 且 D→S =

?? ??

22a,0,

26a????



C→S



????0,- 22a, 26a????



B→C



????- 22a, 22a,0????. 设C→E=tC→S,

则B→E=B→C+C→E=B→C+tC→S=????- 22a, 22a?1-t?, 26at????, 而B→E·D→S=0,
所以????- 22a, 22a?1-t?, 26at????·???? 22a,0, 26a????=0, 解得 t=13,即当 SE∶EC=2∶1 时,B→E⊥D→S. 又 BE?*面 PAC,故 BE∥*面 PAC.




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