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2019人教A版数学必修四课件:第二章 *面向量 2.3.4 *面向量共线的坐标表示(情境互动课型)

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2.3.4 *面向量共线的坐标表示 1.*面向量的坐标表示. 如图,i, j 是分别与x轴、y轴方向相 y D a 同的单位向量,若以 i, j 为基底, C A j x o iB 则对于该*面内的任一向量 a , 有且只有一对实数x,y,可使 a = xi + yj. 2.*面向量的坐标运算. 已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) , a ? b ? (x1 ? x2, y1 ? y2), a ? b ? (x1 ? x2, y1 ? y2), ?a ? (?x1,? y1). 思考1:如果向量 a,b 共线(其中 b ? 0),那么a,b 满足什么关系? 提示: a=?b. 思考2:如何用坐标表示两个共线向量? 1.复*巩固*面向量坐标的概念. 2.会根据向量的坐标,判断向量是否共线;会用两 向量共线的坐标表示解决向量共线、点共线、直线 *行等问题.(重点、难点) 微课1 *面向量共线的坐标表示 设道,aa??,(b?x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,其中 b ? 共线,当且仅当存在实数 0 ? ,我们知 , 使 a ? ?b, 如果用坐标表示,可写为 ( x1, y1 ) ? ? (x 2 , y 2 ), 即 ? ? ? x1 y1 ? ? ?x2 , ?y2. 消去 ? 后得 x1 y2 ? x2 y1 ? 0. 这就是说,当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0. 时,向量 a,b(b ? 0) 共线. 【即时训练】 下列各组向量中,共线的是( D ) A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 例1.已知 a =(4,2),b =(6,y), 且 a b ,求y. 【解析】因为 a b , 所以 4y-2×6=0, 所以y=3. 【变式练*】 设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x= ( B ) A.2 B.3 C.4 D.6 例2. 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A, B,C三点之间的位置关系. 解:在*面直角坐标系中作出A,B,C三点,观察 图形,我们猜想A,B,C三点共线. 下面给出证 明. y 因为 AB =(1-(-1),3 -(-1))=(2,4), C AC =(2 -(-1),5-(-1))=(3,6), B 又 2×6 -3×4 = 0, 所以 AB∥AC. O x A 因为直线AB与直线AC有公共点A, 所以A,B,C三点共线. 注意向量共线与 直线重合的区别 【变式练*】 已知A,B,C三点共线,且A(3,-6), B(-5, 2),若 点C横坐标为6,则C点的纵坐标为( C ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 【方法规律】 1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个 向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线 与两个向量*行是一致的,利用向量*行证明三点 共线需分两步完成:(1)证明向量*行;(2)证明两 个向量有公共点. 2.若 A,B,C 三点共线,即由这三个点组成的 任意两个向量共线. 【互动探究】 如右图所示,已知直角梯形 ABCD,AD⊥AB, AB=2AD=2CD,过点 C 作 CE⊥AB 于 E,M 为 CE 的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证 明: 1.DE∥BC; 2.D,M,B 三点共线. 【证明】如右图,以 E 为原点,AB 所在直线为 x 轴,EC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,设|A→D| =1,则|D→C|=1,|A→B|=2. ∵CE⊥AB,而 AD=DC.∴四边形 AECD 为正 方形. ∴可求得各点坐标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1), D(-1,1),A(-1,0). 1.∵E→D=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), B→C=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴E→D=B→C,∴E→D∥B→C,即 DE∥BC. 2.连接 MB,MD,∵M 为 EC 的中点,∴M????0,12????, ∴M→D=(-1,1)-????0,12????=????-1,12????, M→B=(1,0)-????0,12????=????1,-12????, ∴M→D=-M→B,∴M→D∥M→B. 又 MD 与 MB 有公共点 M, ∴D,M,B 三点共线. 思考3:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若点P分 别是线段P1P2的中点、三等分点,如何用向量方 法求点P的坐标? 提示:中点 My 1 OP ? 2 (OP1 ? OP2 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), 2 2 P2 P1 P 所以,点P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ). O x 2 2 (1) 三等分点 如图,当点P是线段P1P2的一个三等分点时, 有两种情况,即 P1P = 1 2 PP2或 P1P=2PP2. y P2 P P1 y P2 P P1 O x O x 如果 P1P ? 1 2 PP2,那么 OP ? OP1 ? OP1 ??P13(1PO?PO2 ?P1O?P113)P?1 P2 2 3 OP1 ? 1 3 OP2 ?( 2x1 ? x 2 , 2y1 ? y2 ), 3 3 即点P的坐标是( 2x1 ? x 2 , 2y1 ? y2 ). 3 3 同理,如果 P1P ? 2PP2 ,那么点P的坐标是 ( x1 ? 2x2 , y1 ? 2y2 ). 3 3 思考4:一般地,若点P



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