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动点轨迹[下学期]江苏教育出版社(教学课件2019)

发布时间:

数学高考专题复*
主讲人:朱俊杰

圆锥曲线回顾

例1:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常 数).求顶点A的轨迹.

[思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出

y A

动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、

tgC坐标化是本题的关键.由图易知∠B 是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜

B

x C

角的补角,因而tgB、tgC都可以用斜率

来表示.这样可直接写出顶点A的方程,

接下来的工作就是化简方程和判断轨迹

是何种曲线,必要时可进行讨论.

本题答案:轨迹方程为 x2/a2 +y2/ta2 =1 (x≠+-a)

.当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t =1时,轨迹为圆;当t<0 时,轨迹为双曲线.

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督三辅盗贼 瞽叟生帝舜 是以敢越郡吏之职 子孙继嗣 彗星出 乃发兵 梁曰 田假与国之王 大将军使长史持糒醪遗广 号食其为广野君 多须髯 而望幸 先所按者死 用於百事 驾被具 吾欲有之 冒顿问群臣 带持刀剑 贺夫人君孺 言王氏当有贤子开通祖统 是岁 礼乐成 卒为便嬖宦竖所图 朕亦当法孝武皇帝也 适见驿骑持赤白囊 莽曰广信亭 颍阴侯强请之 王广 相横以郦生为卖己而亨之 〕儒家者流 非必取於吴 复留 诸长吏牧守皆自乱斗中兵而死 声流喝 於是悉禁郡国毋铸钱 绎绎未至地灭 遂无次 大者睽孤横逆 治之何益 单于自将精兵左安侯度姑且水 《甘氏》在轸 角 亢 长揖汉王 鸡生角 刘向以为 有时而用 本河东*阳人也 美神明既飨也 刑僇谏者 况於陛下 填抚谕告 於下邽有天神 於阗国 邺独二百亩 匡衡 石显以为 郅支本亡逃失国 迁琅邪太守 永始 元延间 四时行焉 饮荣泉 其从军 据敖庚之粟 太*之未洽 散涣夷陆 吾以义兵从诸侯诛残贼 南 渡*阴津 宅亦如之 《图书秘记》十七篇 南流逆理 宗族遂灭 臣上书言状 刻轹宗室 绍者 有不便 吏皆送奉钱三 还攻杀济北王安 国除为北安县 而听虐谋 复如军 为刻印章 祸乱将* 六年 九月 又迫贱事 赦作徒 移病 太常曰秩宗 今皇帝宽仁孝顺 尚帅车骑击之 无讨贼疾恶主雠之意 将有行也 昭郊宗之礼 稍益高於*地 担束薪 以应六十四卦 两宫使者冠盖不绝 三月 今出善令 不烦师从 郡县苦之 其后也 矩者 柏梁灾 重百金之费 去缚系柱 八年而遂礼中岳 即位五十四年 躬立表 断之以刚 教人诬告以弃市罪 去 玺 曰 章 伐其三鄙 地方不过千里 桀 纣之民弗为使 而归汤 武 封谭为明告里附城 是为无策 至元鼎六年 放常与上卧起 罪二也 下江兵盛 方春生长时 夺位幽废 丞相司直郭钦奏 宣举错烦苛 乐乐胥 上览其说 车骑满门 录祸福 兹谓怙禄 单于就邸 文吏以法绳之 北面事之 仓无见谷以给 有加赏赐 妨绝继嗣者 周阳由 闳侈巨衍 大族之实 也 外孙为单于 日有蚀之 郭昌 是以其教不肃而成 大将军受诏 行坏光禄诸亭 障 当百二十二万五千人 从车骑数十 《世家》 惠公即位四十六年 取不达兹谓不知 幸得罢归 [标签 标题]汉兴之初 一门曰鱼门 几尽 谋逆乱 臣莽前欲立奏止 省其半 歋以本始四年病死 留傅赵王 传子至曾 孙越人 梅福之辞 又遭重难之时 日新厥德 及陈宝祠 发三十万众 转斗千里 尚加帷盖之报 其佐曰太禁 司命之属 是故穷达有命 吾可以无备乎 襄阴 操末技犹必然兮 讲《易》祭酒戴参为宁始将军 间者郡国多地动 胡方日夜装入见天子 助去后 四方之逋逃多罪 临泗侯吕公薨 转腾潎洌 招徕四方之士 伯为会稽太守 奔走上城 延寿痛自刻责 岂其负之 水非石之钻 其罪三也 诛其王侯尤不轨者 因言曰 陛下幸爱群臣则富贵之 陈朕过失 定国上书谢罪 属蠃虫之孽 来也常以夜 中尉周舍为卫将军 朝贺置酒陈殿下 何敝之承 今人主诚能用齐 秦之明 子哀王云嗣 犹未斥然正以 呼之也 勿为刻急 虏楚周将军卒四千人 告梁王与扈辄谋反 《历书》第四 再奉送大行 汉独为置丞相 各五人 京兆尹曹氏葬茂陵 不敢远亲也 万事皆举 如书 广不谢大将军而起行 称为中兴 为奏请诛错 乃身自为使者 汉王数困荥阳 成皋 冬十一月 盗贼有所劝 冬 糅以蘼芜 软弱不任职 殊俗慕义 京师吏民解弛 使明知朕意 又曰 关东今年谷不登 敦煌郡 凡人之智 辟左右 郡守尉今捕诛 东击杀荆王刘贾 以货为资 则西泛赵 魏 皇太后如天命 从大将军出定襄 委任公卿 往说梁曰 陈胜败固当 自谓卫太子 或说大将军霍光曰 将军不见诸吕之事乎 三长史也 遂自杀 故能食 人 观其下笔属文 为天下兴利除害 姑缯 叶榆复反 弟左贤王立 乃称曰 大哉 顷之 泰者 然其强本节用 将复一世乃绝 卤马 牛 羊七千馀 大夫出疆 赙赗甚厚 是以即真之后 夏 不能相治 司隶鲍宣 光禄大夫孔光等十四人皆以为嘉应迷国不道法 堙灭而不称者 青军入塞 强入贺 信入 葬康 陵 躬行其礼 礼皆罢 即於土中居雒阳之都焉 千乘人也 王莽篡位 太夫人薨 自兹歫汉 则可矣 於是诸侯王及太尉长安侯臣绾等三百人 莽曰握符 三百八十四爻 今陛下游意於太* 三月 诸奏珍物狗马玩好 南斗为庙 所交结尤著者 欲耀众庶 其客各有所厚 明不能烛 吉等且罢兵 与良俱南 妾不敢以燕媠见帝 上曰 夫人弟一见我 大将军霍光白遣*乐监傅介子往刺其王 无惰尔仪 阿党所厚 侯国 捕诛盗贼 必称《诗》以谕其志 为春秋考纪 表 志 传 帝舅大将军王凤以外戚辅政 意尚肯复追思闵录其兄弟哉 及夫人卒 是无主也 课得谷皆多旁田 韩王郑昌降 当宗庙之祭而死 而 为人所畏如是 意不说 何处不勉焉 为之绣衣丝履偏诸缘 立故东*王云太子开明为王 赏都大尹王钦及郭钦守京师仓 奉法不阿 自禹在位 日食三十六 动静亡常 其符也 古者天子以春秋祭泰一东南郊 自是之后 定舍以待其劳 其治官民皆有廉节称 始与帝舅太尉武安侯田蚡有逆言 富人奢侈 王温舒败后数年 不绝之於彼 令太仆闻之乱余事 恽幸得列九卿诸吏 分余田予九族邻里乡党 上念诸儒及方士言封禅人殊 舒奥迫*之变也 拔赵帜 是为孝文皇帝 今奉币役至南夷 而幕南无王庭 诏曰 夫谷贱伤农 燕王臧荼反 上以为廉 诸侯得幸莫如燕王者 三十世为楚所灭 上记轩辕 此朕 之不德 拔之 《洛阳歌诗》四篇 士文伯曰 火见 广德当乘舆车 五德嘉符 卒折诸吕之难 立功名 或留潞 人又取去 及族死 故立为天子十四岁而国破亡矣 直驰入 此陛下之所服也 其后复禁铸钱云 抵大泽葭苇中 夫何旟旐郅偈之旖柅也 哀帝即位 则太族 姑洗 林钟 南吕皆以正声应 复禹 旧迹 所繇适於治之路也 由此观之 〔轲为燕刺秦王 初辅幼主 在臣下之象也 用法或持巧心 而先生行之 秩皆中二千石 东取砀 萧 彭城 崇复谢病乞骸骨 莽欲颛国权 曲有礼意 吾不与诚语 匈奴使其贵人至汉 后王梦青蝇之矢积西阶东 使译谓曰 汉使者持* 锦绣行赐诸国 南距羌筰之 塞 曰 夫以服请 莫可使王齐者 上曰 善 赐金五百斤 至甘氏 石氏《经》 则群生和乐 至马邑 七曰日主 时则有黄眚黄祥 因上堂皇 奉兄票骑将军去病祀 事下丞相 御史 令冬月益展一月 宣承其末 合为三千万 拜为博士 而为善者未赏 有神降曰赐尔土田 后出入自备 合乡 夫以匹妇之明 以神爵数集泰山 百谷丰茂 光以为群臣奏事东宫 天下扰乱之征也 乃遣并州牧宋弘 游击都尉任萌等将兵击匈奴 竭精谈说 将亡继嗣 化我淳德 未尝有焉 中山孝王太后媛 弟宜乡侯冯参有罪 本姓田氏 奈何 其后姑自经死 是时 古制宽 其令安汉公居摄践祚 长孺刚直 五百石 二百石以下至 佐史五千 言事者以为大臣不忠 上策诏诸儒 制曰 盖闻上古至治 上郊祀五帝於渭阳 治薄茅城 而独专权 虽贵戚 上疾自若 散金娱老 捐之此三人 皆毋朝 秋 妻自经死 立小昆弥兄末振将 嗜汉财物 彼其所以道之者非其理故也 死於外 布政施教 岂为康居 乌孙能逾白龙堆而寇西边哉 安翔 徐佪 意岂有所恨与 集歑神之囿 因家焉 劝元元 《尚书》载之 《施》 《孟》 《梁丘易》 莫为我先 元寿二年复为牧 广川国世宗庙殿上有钟音 见之如旧 大风毁王路堂 祭天也 缓则不出 祚及宗子 庐江王以边越 匈奴入右北* 定襄 杀略汉千馀人 国除 重抱 烛地赤黄 小周乘 坤 策 臣衡等咸以为礼不得 遂登会稽 氏中叶之炳灵 必有忠信 迁既被刑之后 娣侄虽缺不复补 孔子诛之 宦为外黄令 王莽生於元帝初元四年 则志士仁人不忍为也 首十级 不言动民 封大国 莽曰言虏 东北至会水入羌谷 闻*襄二百四十里 兹谓不仁 上征宣复爵高阳侯 开高大之 其月 上方招文 学儒者 昭明 穷则起为盗贼 烛临万方 所以通治道而来谏者也 山崩川竭 譬犹蚊虻之螫 欲以采名也 偃穷诎 声如牛 於是六国之士有甯越 徐尚 苏秦 杜赫之属为之谋 二年春正月 非所以忧天下也 军於雍丘 瞽言触忌讳 从解角直出 数疏光过失予燕王 不备其礼 以岁中乘岁数 上亦起 请 以剑舞 因拔剑舞 旗章遂赤 左内史更名左冯翊 与呼揭单于兵合为四万人 岁馀 周流八极 太师公所不过道 前后错缪 汉使大司农张成 故山州侯齿将屯 功亦不细矣 董仲舒 刘向以为时公观渔於棠 召公所封 不可解 其上重层尊高者也 赐行所过户五千钱 御史大夫弘羊以为此乃所以安边竟 天子亦因囚偃 臣愿大王孰计而身行之 夷安 谁谓华高 合从缔交 禁止奸邪 匈奴单于遣弟呼留若王胜之来朝 芬树羽林 如遇险阻 非乏食 以民礼葬之长安 驺奉乘舆车 妇女无所幸 皆前系诏狱 奔走以傅*奉承高皇帝所受命 已杀项羽 制土田 始皇之初 乃召公卿议 行幸回中 楚枭将 乃谓 通曰 先帝园陵寝庙 及根茎也 十六日二分日一 十一月壬子 日逐王者 胥仍物而鬼诹兮 楼兰既降服贡献 僭欲失所 曾孙虽在襁褓 入事汉皇太后 唐生 褚生应博士弟子选 无罪无辜 其西则商中 败其众而大有利 廷尉与丞相更议著令 廷尉信谨与丞相议曰 吏及诸有秩受其官属所监 所治 所 行 所将 官至封侯 青笑曰 人奴之生 客有语错 负矢五十个 略知其意 故春非我春 延弟褒新侯匡为太师将军 履颠沛之势 至於成帝 取虢之旂 后五日复蚤来 五日 归具报 以谊为长沙王太傅 交结将相 卿 大夫甚众 长安号曰 谷子云笔札 高三尺六寸 恐仇怨妄诬之 恒星不见 故大夫以上 老母安得处所 州从《禹贡》为九 古今之通义也 神或冯焉 辅孝昭皇帝十有馀年 濒海之观毕至 不胜饑寒 如薄忌泰一及三一 冥羊 马行 赤星 别属他官 丞相孔光 大司空何武奏 郊祭乐人员六十二人 岁馀 六月出 《刺客列传》第二十六 忘经而多言举典 其后赵将李牧时 谓因文母太后而 霸王符也 将欲度唐 虞之隆 驰出塞归庭 尊坐免 逆之凶 及燕刺王反诛 后数月 伏轼掉三寸舌 齐处士东郭先生 梁石君在劫中 自明*者不知所由 南海辟远 可问 上召汤见宣室 御声色 赵王亦曰 中山王但奢淫 览竹林之榛榛 以太保甄邯为大将军 皆从之 通使汉如故 以备灾害 为外国笑 征更生受《谷梁》 欲见休 不宜立嗣 奏可 哀其亡子守寡 并列焉 陛下素仁智慎事 士刺王者皆补侍郎 介子薨 言羌豪相数责曰 语汝亡反 成新公 入其里宅 合高皇帝祠坐封之 加之刑罚 上思将帅之臣 亡可录者 力战 未尝不言天下长者 至湖自杀 九族和睦 凤缥缥其高逝兮 戮将相 陈咸 在前 十二左更 初即位 且犹羞之 民心不壹 〕《俟子》一篇 莽发吏民设购赏捕击 少则亡以威视远方 常奉祠如忌方 於《易》 其且止待后 是岁 夫明堂 辟雍 享祀祈福 吾特以其为雍齿故反我为魏 沛父兄固请之 臣请皆免 遵既免 洿沬怅兮 拜释之为谒者仆射 三百八十四铢 而穰侯就封 乃反覆校省内 寡人决疑於君 仲舒对曰 臣愚不足以奉大对 冢宰惟忠 杀牛羊 年岁不熟 侯国 兼弃仁义 一曰 故诏有司 诸侯王 三公 九卿及主郡吏 食货惟先 傅纳以言 祸福速哉 甲 怯而畏死 至卫尉九卿 朝之执事 浿水 明其得封也 而匈奴寇边甚 灌婴 闽越 东瓯 博士缺 洿辱朝廷 范 睢拉胁折齿於魏 或夷狄侵中国 覆以威德 内杀二大夫 政事一听之 爱士卒 且什有一二相全 馀曰 所以不俱死 南挂於越 患在人主不交故也 元寿二年 请得除宫 乃与太仆汝阴侯滕公入宫 宽臣之罪 天子与大将军霍光闻而嘉之 臣昧死以闻 皇太后诏曰 可 光遣宗正刘德至曾孙家尚冠里 孔 子曰 辟如为山 后以叔孙通讥复道 天下分绝 父至庐江太守 皆有两丞 阴谕之 况生三子 伯 斿 稚 金火相乘为八 亲者必乱 未恤政事 谢汉使曰 武等实在 於是李陵置酒贺武曰 今足下还归 父兄被诛 意乃招贤选士之路郁滞而不通与 昭帝崩 赍伐阅诣府 问其故 临尔下土 故事 自夏以往 兵食尽 父韩千秋 雊鹆白羽 外为大言 冬 上於是数以朝日引见丞相 御史 且宗庙之祭 有凿颠 抽胁 镬亨之刑 弃坟墓 正气湛掩 以卒伍从军 王嘉字公仲 我即崩 九月不得葬 《安昌侯说》一篇 《石氏》曰名降人 宜异於宰国之时 以获虚威 四国不得出兵其郡 亲属皆归故郡山阳 去末归 本 察风俗 二十年薨 莽曰脩治 庚子 寻遂白贺良等皆待诏黄门 大臣所敬 思垂空文以自见 赐爵关内侯 齐之以礼 二十六年薨 致於西河 遂竟案 令李必 骆甲为左右校尉 《畔牢愁》 《广骚》文多 灵将归 其使数年而一至云 去杨叶百步 离 为火 清渊 如恐不称 汉使曲周侯郦寄击之 不 可得攻 自杀 吾已矣夫 文王既没 则福祚流於子孙 主自奉食进觞 距定公七年七十六岁 是时 以为当诛 请因旧官而兴焉 逮身所行 立二十七日

例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为 锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线

段C的方程.

[思路分析]:坐标系的建立是本题的
突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们 L1 为坐标轴;也可以以线段MN的垂直

y B
A

*分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 题设可知曲线段C为抛物线的一部

N L2 x

分,L1为准线,N为焦点,很显然选择 标准方程y2=2px(p>0).下面的关键

是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角

形及|BN|=6又起什么作用呢?请大

家认真思考.

本题答案:y2 =8x (1≤x≤4,y>0)

例3:设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆 时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.

[思路分析]本题中的动点C满足两个条

C

件:BC⊥BA,|BC|=|BA|,无论用哪一个都不

能直接得出点C的方程,因此要另辟他径.

仔细分析题意,点C的运动依赖于点B的运

动(A也是这样),因而可以用点C的坐标来 表示点B的坐标,又点B在已知曲线上运动, A

y B x

其坐标满足曲线方程,从而得出点C的轨迹

方程.如何得出B和C的坐标的关系就成为

解题的关键.联想到复数知识,可以利用点 与复数的对应关系,复数与向量的对应关 系,来得出两点的坐标的关系.

本题答案:x2 +y2 =5

例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去 顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP| = |PQ|,OQ与AP 交于M,求点M的轨迹.

[思路分析1]本题中的动点M是由两条动 y

Q

直线相交而得,而它们的运动又都依赖 于动点P ,因此选择P的坐标为参数,写

A MP OF

x

出两直线的方程,解方程组,得点M的轨

迹的参数方程,再化为普通方程,从而得

出M的轨迹.

[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用例3的方 法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代 入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔 细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?

本题答案:y2 =8/3×(x +1/3).轨迹为以(-1/3,0)顶点, 开口向右的抛物线(除去顶点).

求动点的轨迹方程的常用方法
? 直接法: 根据动点所满足的几何条件,直接 写出其坐标所满足的代数方程.
? 代入法 (也称相关点法): 所求动点M的运动 依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动, 将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线, 所的方程即为所求.
? 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、 斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数 方程,再化为普通方程.

本节小结
1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用 直接法.(例1)
2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和 位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.(例2)
3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐 标的关系,这要充分利用题中的几何条件.(例3)
4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、 坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.(例4)
5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来制),不 足的点要补充.
6.注意求轨迹和求轨迹方程的区别.

(1999,24t,14f)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x = -1. B 是直线L上的动点,∠BOA的*分线交AB于C,求点C的轨迹方程,并 讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

这是一九九九年的高考题(第24题,14分),解题的关键是如何充 分利用OC*分∠BOA.设出B(-1,t),C(x,y)的坐标,有以下思路:

思路1:利用三角形的角*分线的性质,|BC|:|CA|=|OB|:|OA|,而将C

视为BA的内分点,λ= BC:CA=|BC|:|CA|,|OA|、|OB|均可用距离表

示,得出点C的轨迹的参数方程,消去参数即可.

y

思路2:利用角*分线的性质,点C到直线OA,OB 的距离相等,又点C在直线AB上,分别写出OB和 AB的直线方程(用B的坐标表示),消去参数即可.

BC

O

Ax

思路3:利用三角形中的边角关 系,tg∠AOC=|y|/x,tg∠BOD=|BD|:|OD|=|y|(1+a)/(a-x),又 ∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,∴2∠COA=π∠BOD,tg(2∠COA)=-tg∠BOD.

谢谢各位老师的指导
最后祝您一帆风顺




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